확률 계산할 때 경우의 수 세는 방법이 헷갈려요

 경우의 수를 셀 때는 같은 것을 하나로 센다
 당연한 이야기이다. 그런데 확률 계산할 때 학생들이 헷갈려하는 부분이 있다. 일단 고등학교에서 주로 다루는 확률이 수학적 확률뿐이다. 근원사건이 일어날 정도가 같을 때 경우의 수로 구하는 그 확률이다.

 그런데 각각의 근원사건이 같지 않을 때는 어쩌나? 예를 들어 1/2/3/4/5/5가 쓰인 주사위를 던질 때 경우의 수는 5가지지만 5가 나올 확률은 1/5이 아니다. 이런 경우에 보통 "확률 계산할 때는 같은 경우라도 여러번 나오면 따로 세어라"고 하면 해결이 되는 듯하다. 하지만 왜 그런거지? 위의 경우는 상황이 간단한 경우이고 복잡해졌을 때 학생들은 혼란에 빠질 수 있다!

 아래는 이런 고민을 학생들에게 하게끔하는, 인지적 갈등을 일으키기 좋은 문제다.

A에서 B로 최단거리로 이동할 때 아래와 같은 경로로 갈 확률은?

이 때 단순히 경우의 수로 해결하면안되고 각 갈림길에서 빨간 길을 택할 확률을 곱해야한다. 답이 달라진다. 그 이유를 생각해보면 각 경로(근원사건)으로 갈 확률이 다르기 때문이다. 직관적으로 생각하면 위 길은 갈림길 선택의 순간이 2번 있지만 아래 경로는 선택의 순간이 3번 있다.

그래서 각 경로가 일어날 확률이 달라서 경우의 수로 확률을 못 구한다.

 그렇다면 학생은 각 근원사건이 동일한 정도로 일어나는 지 아닌 지 따질 방법을 알고 싶어진다. But 이것 자체가 확률의 개념을 필요로하니까, 복잡해진 상황에서 이를 정확히 판단하는 것은 불가능하고, 결국 각 근원사건에 0에서 1사이 수를 임의로 짝짓고 특정 성질을 만족하면 된다는 공리적 접근이 나타나는 것이다.

 학생이 혼란스러워하는 건 수학적 확률의 정의 자체가 완전하지 않다는 걸 생각해보면 너무나 당연하다. 수학적 확률의 정의 자체가 불완전함을 알려주고, 고등학교 문제에서 확률 풀 때는 경우의 수는 하나더라도 반복되면 여러번 세면 된다고 정리를 해주면 될 것 같다.