본문 바로가기

수학교육/학생의 질문

자연수의 거듭제곱의 합 내가 학생일 때, 자연수 거듭제곱의 합 공식은 교과서의 증명이 이해는 되지만 스스로 증명을 떠올릴 수 없어서 답답했다. 뭔가 수학적인 배경이 있을텐데 싶었다. 그냥 자연수의 합은 등차수열이라 쉽게 증명할 수 있다. 이차, 삼차는 교과서에서 아래와 같이 증명을 한다. 가끔은 그림을 이용해서 증명하기도 하는데. 이건 아직도 잘 이해가 안된다. 홀수(파란 블럭)는 같은 모양 3개로 쪼개지는데 짝수(초록색 블럭)는 2개로 쪼갠걸 다시 한 번 쪼갠다. 물론 증명이 되긴하는데 공식을 알고 그림을 억지로 끼워맞춰서 설명하는 느낌이다. 내가 뭘 모르고 있는게 있나... 그러던 중에 베르누이 수라는 걸 알게 되었다. 종종 개념을 더 높은 차원으로 추상화했을 때 증명이 더 자연스러운 맥락에서 되는 경우가 있다. 멱급수를 .. 더보기
확률 계산할 때 경우의 수 세는 방법이 헷갈려요 경우의 수를 셀 때는 같은 것을 하나로 센다 당연한 이야기이다. 그런데 확률 계산할 때 학생들이 헷갈려하는 부분이 있다. 일단 고등학교에서 주로 다루는 확률이 수학적 확률뿐이다. 근원사건이 일어날 정도가 같을 때 경우의 수로 구하는 그 확률이다. 그런데 각각의 근원사건이 같지 않을 때는 어쩌나? 예를 들어 1/2/3/4/5/5가 쓰인 주사위를 던질 때 경우의 수는 5가지지만 5가 나올 확률은 1/5이 아니다. 이런 경우에 보통 "확률 계산할 때는 같은 경우라도 여러번 나오면 따로 세어라"고 하면 해결이 되는 듯하다. 하지만 왜 그런거지? 위의 경우는 상황이 간단한 경우이고 복잡해졌을 때 학생들은 혼란에 빠질 수 있다! 아래는 이런 고민을 학생들에게 하게끔하는, 인지적 갈등을 일으키기 좋은 문제다. A에서.. 더보기
지수함수와 역함수(로그)의 그래프는 최대 3개의 교점을 가질 수 있다. 손으로 대충 쓱쓱 그어보면 지수함수와 그 역함수의 그래프의 교점은 0, 1, 2개 정도 되겠군. 하고 착각하기 쉽다. 그런데 계산기의 도움을 받아 잘 그려보면 3개까지 가능하다! 그리고 이 예시는 학생들이 많이 하는 착각인 "함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 직선 y=x위에'만' 생긴다"의 반례도 된다. 출처: http://blog.naver.com/sosintegral/40018846968 더보기
분산을 구할 때 편차를 왜 굳이 제곱하나요? 대푯값으로 부터 흩어진 정도를 나타내는 것이 산포도. 그 중에 대표적인 것이 분산과 표준편차이다. 대푯값 중 평균을 써먹기로 한다면, 평균에서 흩어진 정도인 편차는 자연스럽게 정의되고, 이 편차를 적당히 더해야겠다는 것을 학생들이 금방 말할 수 있다. 물론 그냥 더해보면 0이 된다는 것과 그 이유를 학생들도 어렵지 않게 알 수 있다. "그래서 더해서 0이 되지 않게 제곱을 해서 더한건 분산이라고 하자"라고 말하면, 몇몇 학생은 "OK", 몇몇 학생은 "왜 하필 제곱? 절댓값도 되는데?", "그럼 네제곱은 안 되나?"같은 생각도 할 수 있다. 분명 "저는 절댓값이 더 좋아요!"라는 학생이 있다. 이런 학생에게 대푯값으로 평균을 택했다면 편차를 제곱, 대푯값으로 중앙값을 택했다면 편차에 절댓값을 취하여 더하.. 더보기
중복순열의 기호(Pi)와 중복조합의 기호(H)의 유래 1. 중복순열 nπr nπr은 n을 r번 곱하는 것(Product)이다. 그래서 P를 쓰면 좋을텐데 순열 (nPr)에서 이미 P를 사용해서 이에 대응하는 그리스어 π를 쓰는 것. 2. 중복조합 nHrnHr의 H는 Homogeneous의 첫글자. 이는 동차 다항식(homogeneous polynomials)와 관련.(x1+x2)^3 의 항의 개수는 3H2(x1+x2+x3)^5의 항의 개수는 5H3(x1+x2+...+xk)^n의 항의 개수는 nHr 임을 생각하면 된다. 출처: http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=4410969&showAll=true 더보기
중복조합을 설명하는 여러 모델 중복조합이 참 의미는 간단하다. 근데 그 공식을 유도하는 과정이 조금 곤란하다. 교과서에서는 2가지 방법 중 하나로 설명한다. 1. 칸막이 모델로 설명하거나 2. 1부터 5 중 중복허락하여 4개를 조합으로 택하는 방법인 5H4를 계산할 때 (1, 3, 3, 5)를 (1, 3+1, 3+2, 5+3)에 대응시켜서 8C4로 계산하기. 이 설명들이 학생들이 이해하기에 큰 무리가 있진 않은데, 학생들이 스스로 발견하게끔 하는게 곤란하다. "내가 스스로 알아낼 수 있는 공식", "내가 정말 제대로 안다."는 느낌이 들지 않는다. 그래서 다른 설명방식을 찾아보려고 노력했지만, 길찾기 모델 밖에 못 찾았고 그렇게 만족스럽진 않다. #중복조합: http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=340.. 더보기
기하평균, 조화평균은 어디에 사용되나요? #기하평균-기업의 연평균 성장률을 계산할 때 사용된다. (출처: 엑셀 함수&수식 바이블, 한빛미디어, 최준선) -물론 같은 비율로 확대되는 닮은 도형에서도 발견된다. #조화평균-같은 거리를 v1, v2 속력으로 각각 가고 올 때의 평균 속력을 구할 때 나타난다. 더보기
행렬의 곱셈은 왜 그렇게 하죠? 1. 활용 문제에서 자주 나오는 표의 곱셈의 의미로 설명하기. : 일차변환을 배우기 전에 행렬을 배우고 있는 학생들에겐 이 정도로 언급해주면 절반 정도 납득하는 듯 출처: http://www.studycode.net/bbs2/read.htm?cate_sub_idx=&cate_sub_idx2=&iframe_use=&list_mode=board&code=36&keyfield=&key=&page=117&side=1&lecture_yn=&idx=28961 2. 일차변환의 합성과 관련하여 설명하기.: 일차변환을 막 배운 학생들에게 좋을 듯. 이 때 행렬 곱셈의 결합법칙을 일차변환의 합성으로 증명(?) 할 수 있음을 언급해주면 좋다. 출처: 교학사 교과서 3. 이건 내 추측 사실 일차변환을 나타내기 위한 도구로 행.. 더보기
행렬식은 어디에 쓰이지? #역행렬이 존재하는 지 알 수 있다. #연립일차방정식의 해의 일치성을 알 수 있다. #야코비안 행렬의 행렬식은 변수 변환 적분에 사용된다. #고유값을 찾을 때 행렬의 고유다항식을 찾는 도구가 된다. #n차원 평행사변형의 부피를 나타낸다. #론스키안: f1,...,fn,...,f1^(n-1),...,...fn^(n-1)의 독립성. 예상했던 바와 같이 애들이 행렬식은 왜 배우냐고 묻는다. 몇 가지 소재를 알려주니까 야코비안, n차원 평행사변형의 부피랑 론스키안은 꽤 흥미있어한다. 더보기
sin의 유래 sine은 라틴어 sinus에서 온 것으로 알려져 있다. sinus의 뜻은 매우 다양해서 '길의 커브, 땅의 움푹 들어간 곳, 꼬불꼬불한 길'을 듯하기도 한다.또, '해안의 만(灣)', '가슴' 등을 뜻하기도 한다. sinus의 다양한 듯에도 불구하고 sine이 일상 생활에서 사용되는 단어가 아닌 것을 보면, sine이 sinus를 번역했다기보다는 음역했을 것으로 추측되나 확실하지는 않다. 또, 레기오몬타누스(Regiomontanus)가 sine이라는 용어를 사용했다는 주장도 있으나, 확실하지 않다. 본래 인도의 수학자 아리아바타(ryabhata 475 - 550 )는 사인에 해당하는 것을 ardh-jy 또는 jy -ardh라고 불렀다. ardha는 '절반'이라는 뜻이고, jy 는 '현'의 뜻을 가진다고.. 더보기