자연수의 거듭제곱의 합

 내가 학생일 때, 자연수 거듭제곱의 합 공식은 교과서의 증명이 이해는 되지만 스스로 증명을 떠올릴 수 없어서 답답했다. 뭔가 수학적인 배경이 있을텐데 싶었다.

 그냥 자연수의 합은 등차수열이라 쉽게 증명할 수 있다.

 이차, 삼차는 교과서에서 아래와 같이 증명을 한다.

 가끔은 그림을 이용해서 증명하기도 하는데. 이건 아직도 잘 이해가 안된다. 홀수(파란 블럭)는 같은 모양 3개로 쪼개지는데 짝수(초록색 블럭)는 2개로 쪼갠걸 다시 한 번 쪼갠다. 물론 증명이 되긴하는데 공식을 알고 그림을 억지로 끼워맞춰서 설명하는 느낌이다. 내가 뭘 모르고 있는게 있나...

그러던 중에 베르누이 수라는 걸 알게 되었다. 

 종종 개념을 더 높은 차원으로 추상화했을 때 증명이 더 자연스러운 맥락에서 되는 경우가 있다. 멱급수를 이용해서 거듭제곱의 합을 구할 수도 있구나. 페르마가 따라간 아르키메데스의 생각이 무엇일까 구글링 해보니까 (영어라서 정확히는 모르겠지만) archimedean spiral 면적 구할 때 세제곱의 합이 필요했나보다.
(https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/sums-of-powers-in-discrete-mathematics-archimedes-sums-squares-in-the-sand)

이런걸 알고 있다고 수업에 당장 어떻게 써먹을 수 있는 건 아니지만! 고등학교 수업 준비 중에도 공부할 수학 거리가 있구나 싶다.

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